Vibrations d'objets anisotropes

Calculateurs

Des calculateurs génériques existent pour des objets de forme superquadratique par morceaux et pour des cylindres infinis ayant une section en courbe de Lamé par morceaux. Il est cependant préférable d'utiliser un calculateur adapté à la symétrie lorsque c'est possible.

Objets finis
cubique	tétragonal	orthorhombique

Cylindres infinis
tétragonal	orthorhombique

Utilisation

Voici les étapes d'utilisation communes à tous ces calculateurs :

• définition de la forme de l'objet :
  • d_□ : longueur totale de l'objet suivant la direction considérée sauf pour les calculateurs génériques, pour lesquels la longueur totale est la somme des longueurs + et -.
  • facteurs de forme n_□>0. Les faces s'aplatissent lorsque n_□ tend vers l'infini.
• définition de l'élasticité (masse volumique ρ et composantes du tenseur C_ij)
• choix de la symétrie des modes à calculer pour les calculateurs adaptés à la symétrie. Pour obtenir tous les modes, il faut faire le calcul pour toutes les représentations irréductibles. Pour les calculateurs génériques, tous les modes sont calculés.
• choix du vecteur d'onde Q ou de la longueur d'onde λ pour les cylindres infinis
• Calcul!
• choix du mode de vibration à visualiser en cliquant sur la ligne correspondante du tableau des résultats

La prévisualisation de la géométrie des objets ou de la section des cylindres ainsi que la visualisation de leurs vibrations sont réalisées à l'aide de three.js. Il est possible de faire tourner (bouton gauche de la souris ou bouton+touche Q), de zoomer (bouton central ou bouton+touche S) ou de déplacer (bouton droit ou bouton+touche D) la vue 3D. La surface des objets peut être représentée de différentes façons lors de la visualisation des vibrations.

Les déplacements sont exprimés dans une base de fonctions x^l+y^m+zⁿ avec l+m+n≤N_max. Les calculs peuvent être longs avec les calculateurs génériques lorsque N_max est grand. N_max=15 pour les calculateurs adaptés à la symétrie et N_max=20 si la case à cocher à côté de Calcul! est cochée () ou si elle n'existe pas.

Pour les représentations irréductibles dégénérées (E et T), un seul mode est visualisable. La visualisation de tous les modes dégénérés est possible en utilisant la symétrie orthorhombique pour laquelle il n'y a pas de modes dégénérés.

Méthode

Les calculs utilisent la méthode proposée par W. M. Visscher, A. Migliori, T. M. Bell et R. A. Reinert dans J. Acoust. Soc. Am. 90, 2154 (1991) qui a été étendue aux formes superquadratiques et superellipsoïdes dans Nanomaterials 11, 1838 (2021).

Les travaux de N. Nishiguchi, Y. Ando et M. N. Wybourne dans J. Phys.: Condens. Matter 9 5751 (1997) permettent d'utiliser la même approche pour des cylindres infinis. Comme précédemment, ces travaux ont été étendus à des cylindres infinis dont la section est délimitée par des courbes de Lamé.

Les travaux de E. Mochizuki dans J. Phys. Earth 35, 159 (1987) permettent d'alléger significativement les calculs pour des objets présentant des symétries. Il est ainsi possible de gagner en précision et de connaître la symétrie des vibrations (représentations irréductibles).

L'implémentation (source) utilise la bibliothèque GNU Scientific Library ainsi que le compilateur emscripten ce qui permet de réaliser ces calculs dans un navigateur web.

Symétrie

Objets finis

Les tableaux ci-dessous détaillent comment les dégénérescences sont levées lorsque la symétrie change en partant des modes d'une sphère isotrope. Ils ont été établis à l'aide des table de corrélation O_h→D_4h et D_4h→D_2h(C'₂). Pour la forme superquadratique par morceaux, dans le cas général ces objets ne présentent pas d'opération de symétrie autre que l'identité donc toutes les vibration ont la même représentation irréductible.

Cylindres infinis

Le tableau suivant présente les correspondances entre les modes de vibration d'un cylindre infini circulaire et isotrope et ceux d'un cylindre infini de symétrie tétragonale et orthorhombique.

Tutoriel

Afin de se familiariser avec ces calculateurs et de vérifier leur bon fonctionnement, il peut être intéressant de reproduire des calculs pour lesquels une solution analytique est connue.

Sphère isotrope

Calculons les vibrations d'une sphère isotrope de diamètre 10 nm constituée d'«or isotrope» (v_l=3330 et v_t=1250 m/s). La fréquence du premier mode sphéroïdal avec ℓ=2 vaut 105.78 GHz.

D'après le tableau ci-dessus, en symétrie orthorhombique les 5 modes correspondants (m=-2, -1, 0, 1 et 2) se transforment en 2 A_g + B_1g + B_2g + B_3g. Utilisons le calculateur orthorhombique pour une sphère identique :

• sphéroïde avec d_x=d_y=d_z=10 nm
• densité ρ=19.283 g/cm³
• C₁₁=C₃₃=ρ*v_l²=213.8272587 GPa
• C₄₄=C₆₆=ρ*v_t²=30.1296875 GPa
• C₁₂=C₁₃=C₁₁-2*C₄₄=153.5678837 GPa

Pour la représentation irréductible A_g, nous obtenons 2 modes de fréquence 105.784 GHz. Pour B_1g, B_2g et B_3g nous obtenons un mode de même fréquence. Il s'agit des 5 modes sphéroïdaux ℓ=2 fondamentaux.

Parallélépipède rectangle d'élasticité cubique

D'après les travaux de R. D. Mindlin dans J. Appl Phys 27, 1462 (1956), un parallélépipède rectangle dont les côtés ont pour longueur a et b suivant les directions x et y possède des vibrations aux fréquences $\omega =\frac{m\pi }{2a}\sqrt{\frac{C_{11}-C_{12}}{\rho }}$ si $\frac{a}{m}=\frac{b}{n}$ avec m et n des nombres entiers.

Dans le cas d'un cube d'or (cubique) de côté 10 nm, nous obtenons $\omega =\frac{m\pi }{2a}\sqrt{\frac{C_{11}-C_{12}}{\rho }}\approx m\times 61.317$ GHz.

Nous pouvons ainsi vérifier l'existence de ces modes avec le calculateur pour la symétrie cubique. Pour m impair, il s'agit des modes A_2g et E_g à 61.317, 183.951, 306.587 GHz. Pour m pair, il s'agit des modes T_1g à 122.634 et 245.268 GHz. Les fréquences pour les modes suivants diffèrent un peu entre les deux méthodes de calcul.

Dans le cas d'un parallélépipède rectangle d'or (cubique), de côté 10 nm suivant x et y et de longueur quelconque suivant z (nous prendrons 6 nm), nous obtenons les mêmes fréquences que précédemment que nous retrouvons avec le calculateur tétragonal pour B_1g à 61.317 et 183.951 GHz et pour A_2g à 122.634 et 245.268 GHz. Ces représentations irréductibles sont en accord avec le tableau ci-dessus.

De la même façon, pour un parallélépipède rectangle d'or (cubique) de côté 10, 15 et 6 nm suivant x, y et z, et en remarquant que a/2=b/3, nous trouvons un mode B_3u à 122.634 GHz avec le calculateur orthorhombique. La représentation irréductible de ce mode est différente dans ce cas car m=2 et n=3 alors que précédemment nous avions m=n avec a=b.

Remarquons finalement que ces derniers modes de vibration (tétragonal et orthorhombique) ne dépendent pas de l'épaisseur suivant z. On les retrouve donc également pour des cylindres infinis avec les mêmes fréquences et les mêmes représentations irréductibles à Q=0 : B_1g et A_2g en tétragonal et B_3u en orthorhombique.

Comparaison avec des résultats publiés

Voici des liens pour reproduire des résultats de la littérature :

• Tableau 1 («patate» en aluminium isotrope) de J. Acoust. Soc. Am. 90, 2154 (1991). Notez que les fréquences ont été ajustées dans l'article pour reproduire les fréquences expérimentales. Pour reproduire cet ajustement, la densité utilisée dans la calculateur est modifiée (≈2.7430 au lieu de 2.7065 g/cm³).
• Tableaux 5 à 13 de Journal of Sound and Vibration 311 (2008) 184–199 (2008). La taille des objets est choisie de telle façon que les fréquences en GHz correspondent aux fréquences réduites de l'article. Pour les pyramides, le réseau cristallin cubique a été tourné de 45° autour de l'axe z afin que les côtés de la base soient alignés selon des directions [100] comme dans l'article. Dans tous les cas, un lien utilisant le calculateur générique est proposé. Un calculateur adapté à la symétrie est également proposé pour les sphères et les cubes.
• Figures S3 et S5 (sphère et sphéroïde en polystyrène isotrope) de Phys. Rev. Lett. 128, 048003 (2022) (Supplemental Material).
• NPr, NPc, NPcs et NPrs (nanocubes arrondis en or cubique) du tableau 1 de J. Phys. Chem. C 126, 3606 (2022).
• Un objet plus gros? Que diriez-vous d'une naine blanche d'élasticité cubique comme dans AIP Advances 11, 105111 (2021)?

  Tableau 1A	cubique	générique
  Tableau 1B	cubique	générique
  Tableau 1C	cubique	générique

  Les fréquences ne sont pas reproduites parfaitement car les valeurs des paramètres utilisés dans l'article ne sont pas données précisément.